Motif pajarita

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Voici une photo d'un pavage de l'Alhambra de Grenade.

L'objectif de ce problème est de construire le motif pajarita dans un fichier de géométrie dynamique.

\(\text{ABC}\) est un triangle équilatéral.

1. Placer les points \(\text{A}^\prime\), \(\text{B}^\prime\), \(\text{C}^\prime\) milieux respectifs des côtés \(\text{[BC]}\), \(\text{[AC]}\) et \(\text{[AB]}\).
Construire ensuite les droites \((d)\), \((d’)\) et \((d’’)\), médiatrices respectives des segments \(\text{[A}\text{B}^\prime\text{]}\), \(\text{[B}\text{C}^\prime\text{]}\) et \(\text{[C}\text{A}^\prime\text{]}\).
On note \(\text{I}\) le point d’intersection de \((d) \text{ et } (d’),\text{ J}\) le point d’intersection de \((d')\) et \((d’’)\) et \(\text{K}\) le point d’intersection de \((d’’)\) et \((d)\).
2. Construire les arcs de cercle, internes au triangle \(\text{ABC}\), de centres respectifs \(\text{I}\), \(\text{J}\) et \(\text{K}\) et reliant respectivement les points \(\text{B}\) et \(\text{C}^\prime\), \(\text{C}\) et \(\text{A}^\prime\) ainsi que \(\text{A}\) et \(\text{B}^\prime\). Construire ensuite le symétrique de ces arcs de cercle par rapport aux points \(\text{C}^\prime\), \(\text{A}^\prime\) et \(\text{B}^\prime\) pour obtenir le motif pajarita.

3. Si le triangle équilatéral \(\text{ABC}\) a pour côté \(6\) cm, calculer l’aire du motif pajarita, exprimée en cm\(^2\).
4. Dans le fichier de géométrie dynamique précédent, reproduire le pavage suivant à partir du motif pajarita. Préciser et décrire soigneusement toutes les transformations utilisées.

5. Un carreleur souhaite recouvrir un mur de motifs pajaritas. Pour des questions pratiques, il veut utiliser des carreaux ayant la forme d’un parallélogramme.
    a. Sur le fichier de géométrie dynamique précédent, tracer soigneusement un exemple de parallélogramme, le plus petit possible, dont les sommets sont des sommets d'un motif pajarita et qui permette de paver le plan.
    b. Par quelles transformations peut-on obtenir le pavage de la figure précédente en utilisant ce parallélogramme comme motif élémentaire ?